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115年 - 115 國家安全情報特種考試_三等_數理組(選試英文):線性代數#140914
> 申論題
題組內容
一、以下的聯立方程式包含四個未知數三個方程式,
(二)求出此聯立方程式的通解,
x
= ?(10 分)
相關申論題
二、考慮函數 T: \( \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2} \) 是一個線性轉換 T(x1 ,x2 )\(x_1 \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) 求 x1 , x2 使得 T(x1 , x2 )= \( \begin{bmatrix} -3 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)。(10 分)
#577512
三、假設 \(A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & 8 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) ,求 A 的反矩陣。(10 分)
#577513
(一)求 A 的行空間(Column space of A) 的基底;(7 分)
#577514
五、假設 \(A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 6 & 6 \\ 4 & 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) ,求 A 的行列式值。(10 分)
#577515
(一)求將向量 y 正交投影(orthogonal projection)至 Span {$\mathbf{u}_{1}$, $\mathbf{u}_{2}$, $\mathbf{u}_{3}$}的向量; (10 分)
#577516
七、如果 \( \{ \mathbf{x}_1 = (1, -4, 0, 1)^T, \mathbf{x}_2 = (7, -7, -4, 1)^T \} \) 是子空間 W 的基底,\(W \subset \mathbb{R}^4\), 請使用 Gram-Schmidt 正交處理技術求出子空間 W 的正交歸一基底 (orthonormal basis)。(10 分)
#577517
(一)求出矩陣 A 的特徵值(eigenvalues) ,(6 分)
#577518
(二)求出每個特徵值對應的特徵空間(eigenspaces) 。(9 分)
#577519
(二)求向量 y 離向量空間 Span {$\mathbf{u}_{1}$, $\mathbf{u}_{2}$, $\mathbf{u}_{3}$} 的最短距離。 (5 分)
#577520
1.小寧是一位已取得教師證的準教師,他在繼續升學、找一份穩定的學校教職,或是從事符合其個人教育理念的工作之間,猶豫不決而感到焦慮。分別從「存在主義」與「實用主義」的核心觀點(4分),說明小寧職涯發展方向的考量重點(6分)。作答格式範例:(1)存在主義的核心觀點:_________,考量重點:________________。(2)實用主義的核心觀點:_________,考量重點:________________。
#577521
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