三、請利用數個 NAND 邏輯閘畫出下列布林代數之邏輯電路接線，只能使用 NAND 邏輯閘，不能使用其他邏輯閘。（20 分）
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詳解 (共 1 筆)

詳解 提供者：楊益維

這是一題關於 NAND 邏輯閘通用性（Universality） 的經典應用題。NAND 閘可以組合出任何基礎邏輯運算（NOT, AND, OR）。

要將一個「積之和（Sum of Products, SOP）」形式的布林代數式，全部改用 NAND 閘來實現，最簡單且標準的方法就是利用 狄摩根定律（De Morgan's laws） 進行兩次取反。

一、 布林表達式轉換

原式：

$$Y = \overline{B}\overline{C}\overline{D} + ABD + AC + BC\overline{D}$$

對整個表達式取兩次非（Double Negation），其邏輯值不變：

$$Y = \overline{\overline{\overline{B}\overline{C}\overline{C} + ABD + AC + BC\overline{D}}}$$

根據狄摩根定律 $\overline{W+X+Y+Z} = \overline{W} \cdot \overline{X} \cdot \overline{Y} \cdot \overline{Z}$，我們將最內層的「或（OR）」轉換為「與（AND）」：

$$Y = \overline{ (\overline{\overline{B}\overline{C}\overline{D}}) \cdot (\overline{ABD}) \cdot (\overline{AC}) \cdot (\overline{BC\overline{D}}) }$$

這個形式正好符合 NAND-NAND 結構：

  1. 括號內的每一項（如 $\overline{ABD}$）都是一個 NAND 運算。

  2. 最外層的長橫線代表最後將所有結果再進行一次 NAND 運算。

二、 NAND 閘實作步驟

為了完成此電路，我們需要三層邏輯運算：

1. 產生反向訊號（NOT gates using NAND）

如果輸入沒有提供反向變數（如 $\overline{B}$），則需將 NAND 閘的兩個輸入端相連來充當 NOT 閘：

  • $\overline{B} = \text{NAND}(B, B)$

  • $\overline{C} = \text{NAND}(C, C)$

  • $\overline{D} = \text{NAND}(D, D)$

2. 第一層：計算積項（AND terms using NAND）

使用四個 NAND 閘分別計算：

  • $G_1 = \text{NAND}(\overline{B}, \overline{C}, \overline{D})$

  • $G_2 = \text{NAND}(A, B, D)$

  • $G_3 = \text{NAND}(A, C)$

  • $G_4 = \text{NAND}(B, C, \overline{D})$

3. 第二層：總結輸出（OR function using NAND）

將上述四個輸出作為最後一個 NAND 閘的輸入：

  • $Y = \text{NAND}(G_1, G_2, G_3, G_4)$

三、 邏輯電路接線圖描述

在繪製接線圖時，請依照下列配置：

  1. 輸入端： 繪製 A、B、C、D 四條垂直線。

  2. 反向處理： 若需要反向項，從 B、C、D 引出線條接至單輸入 NAND 閘（兩個輸入短路）。

  3. 第一級（NAND 陣列）： 畫出四個多輸入的 NAND 閘。

    • 第一個接 $\overline{B}, \overline{C}, \overline{D}$。

    • 第二個接 $A, B, D$。

    • 第三個接 $A, C$。

    • 第四個接 $B, C, \overline{D}$。

  4. 第二級（輸出閘）： 將這四個 NAND 閘的輸出，匯集接到最後一個四輸入的 NAND 閘，其輸出即為 $Y$。

? 考試要點

這題的關鍵在於記住：「任何 SOP 形式的電路，都可以直接對應到兩層 NAND 電路」。第一層 NAND 閘負責處理「積項」，第二層 NAND 閘負責處理「和項」。這種轉換方式在數位電路設計中非常高效。加油，這題 20 分是邏輯考科中必拿的基礎分！