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學習重點 掌握分層抽樣、樣本平均數的抽樣分配與中央極限定理，會計算變異數、標準誤及常態機率。 分辨研究假設、虛無假設與對立假設，依研究方向選擇單側或雙側檢定。 理解第一類型錯誤、第二類型錯誤及考驗力，判斷顯著水準改變的影響。 依變項性質及研究目的，選用 t 考驗、變異數分析、卡方、相關或迴歸。 會解讀交互作用、卡方期望次數、迴歸係數，以及同質性對相關的影響。 核心觀念 一、抽樣方法與代表性 抽樣是以樣本推論母群。母群包含性質不同的次群體，且希望各類都有代表時，宜採分層隨機抽樣：先依重要特徵分層，再從各層隨機抽取，理想上層內同質、層間異質。 簡單隨機抽樣使每個個體有相同被抽中的機率；系統抽樣是隨機決定起點後，按固定間隔抽取，須留意名冊的週期性；叢集抽樣則以班級、學校等群體為抽樣單位。分層抽樣著重各類代表性，叢集抽樣常著重施測便利與成本。 二、抽樣分配、中央極限定理與標準誤 從同一母群反覆抽出大小為 n 的隨機樣本，將各樣本平均數形成的分配，稱為樣本平均數的抽樣分配。在獨立同分配且母群變異數有限的條件下： 抽樣分配平均數＝母群平均數 μ。 抽樣分配變異數＝σ²／n。 抽樣分配標準差稱為標準誤，等於 σ／√n。 中央極限定理指出，樣本量充分大時，樣本平均數經標準化後的分配趨近常態；所需樣本量取決於母群形狀，不能把某個固定人數當成絕對界線。母群若為常態，任何樣本量的平均數分配皆為常態。 考試常把「樣本平均數的平均值接近母群平均數」納入中央極限定理的敘述。精確而言，平均數等於 μ 是樣本平均數的不偏性；大數法則則強調樣本量增加時，樣本平均數依機率趨近 μ。 其他條件不變，n 越大，標準誤越小。母群變異數若為 100、樣本量為 20，平均數分配的變異數為 100／20＝5，標準誤才是 √5。 計算樣本平均數的機率，使用 z＝（樣本平均數−μ）／（σ／√n）。例如 μ＝162、σ＝5、n＝25，標準誤為 1；平均數低於 160 對應 z＜−2。在常態或常態近似下，左尾機率約 2.28%，可選約 2%。常用單尾面積：低於 μ 約 50%、低於 μ−1σ 約 16%、低於 μ−2σ 約 2.28%；用於平均數分配時，σ 應換成標準誤。 三、研究假設與單雙側檢定 研究假設應以陳述句提出，內容具體明確、可操作化且可驗證，並促使研究者預先思考可能結果，不能只停留在抽象概念層次。 虛無假設 H₀是統計檢定的對象，常表達無差異、無關係或無效果；「沒有顯著差異」屬於虛無性假設。對立假設 H₁表達欲支持的差異、關係或方向。兩者須互斥且涵蓋所有可能，等號放在 H₀。 研究主張對立假設虛無假設檢定 兩組不同μ₁ ≠ μ₂μ₁＝μ₂雙側，兩尾各 α／2 第一組較好μ₁＞μ₂μ₁ ≤ μ₂右側單側 第一組較低μ₁＜μ₂μ₁ ≥ μ₂左側單側 主張教學方案能提升表現，屬於有方向的對立假設，對應的完整虛無假設是「較差或相同」。方向應在分析資料前決定。 四、錯誤類型與考驗力 統計決策H₀ 為真H₀ 為假 拒絕 H₀第一類型錯誤 α正確決策，考驗力 1−β 未拒絕 H₀正確決策第二類型錯誤 β 顯著水準 α 是事先設定的第一類型錯誤控制標準。考驗力是在特定對立情況成立時，正確拒絕 H₀ 的機率。其他條件不變，α 從 .05 降為 .01，拒絕門檻更嚴，故 β 增加、考驗力下降。增加樣本量通常可提高考驗力。 未達顯著應說「未拒絕 H₀」，不能因此證明兩組完全相同。部分考題以「接受 H₀」表達未拒絕，判讀時須理解其用意。 五、統計方法的選擇與交互作用 研究目的適用方法與判斷 比較兩組平均數t 考驗；不同學生組別用獨立樣本 t，同一批學生前後測用相依樣本 t。 比較多組平均數變異數分析，以 F 統計量檢定；也可用於兩組。 同時研究兩個類別因子二因子變異數分析，檢驗主要效果與交互作用。 控制前測等共變項後比較共變數分析。 分析類別資料的次數卡方考驗。 描述兩個連續變項的直線關係積差相關。 以一個變項預測另一變項迴歸分析。 性別分組與學科成就分數的比較，通常選獨立樣本 t 考驗。方法選擇仍須符合相應假定，不能只看「差異」二字。 二因子變異數分析中的主要效果，是平均跨越另一因子各水準後，某因子的效果；交互作用則是某因子的效果隨另一因子的水準而改變。例如壓力對表現的影響，可能因內外向而不同。這是二因子設計的重要關注，交互作用顯著時，宜進一步檢視單純主要效果；但研究者並非必然期待它顯著。 六、卡方考驗與期望次數 卡方適合度、獨立性與同質性考驗分析間斷、類別資料的次數。觀察次數是實際蒐集的次數；期望次數是在 H₀ 成立下推算的理論次數，不是依研究者期待計算。 χ²＝Σ［（觀察次數−期望次數）²／期望次數］。在列聯表獨立性檢定中，期望次數＝該列合計×該欄合計／總次數。 大樣本下，兩組比例的 Pearson 卡方檢定，與相應雙側 z 檢定可得到一致結論；在相應條件下，自由度為 1 的 χ²＝z²。不能推成所有卡方檢定都能直接換成 z 檢定。 七、相關、共變數與迴歸 相關係數 r 是標準化指標，介於 −1 與 1，以絕對值判斷直線關係強弱。共變數受測量單位與變異大小影響，不能直接拿共變數 .8 與相關係數 .4 比較強弱，更不能說關係是兩倍。 全距限制指樣本分數範圍縮小，通常使觀察到的相關降低。資優班智商較同質，可能因此呈現較低的智商與創造力相關；不能僅憑相關降低就斷定人數太少或工具有問題。 迴歸式可寫成預測 Y＝a＋bX。b 是斜率，表示 X 增加 1 單位，Y 的預測值改變 b 單位；a 是 X＝0 時的預測值。例如預測 Y＝1.45＋.83X，X 增加 1 分，Y 的預測值增加 .83 分。不能反向解讀，也不能僅憑迴歸關係認定因果。 常考陷阱 變異數與標準誤混用：變異數算 σ²／n；標準誤算 σ／√n。平均數的 z 值分母用標準誤。 有方向卻選雙側：「較好、較低」對應單側；虛無假設須包含相反方向及相等。 α 降低就更容易顯著：恰好相反；其他條件不變，β 上升、考驗力下降，也無法保證最後是否拒絕 H₀。 期望次數等於實際次數：前者依虛無假設推算，後者才是觀察值。 兩組不能用變異數分析：兩組也能使用，但一般兩組平均數比較題以 t 考驗最直接。 交互作用等於中介效果：交互作用強調效果隨條件改變；中介效果探討影響透過何種途徑傳遞。 相關可直接用來預測分數：要建立預測方程式，選迴歸；解讀時看 X 的係數，勿把截距當斜率。 記憶口訣 「人多誤差小，變異除以 n，標誤除根 n。」 「一真拒，二假留；α 縮，β 漲，力下降。」 「兩組 t、多組 F；次數卡方、預測迴歸。」 「期望看虛無，異質想分層。」