114年 - 114 國立臺北大學_日間學士班轉學生招生考試試題_統計學系日間學士班2、3年級 金融與合作經營學日間學士班3年級：統計學#147628

一、(10%)若有一銅板出現正面機率為 40%，出現反面機率為 60%，若 X 表示連續獨立的投擲 此銅板八次可以得到正面的次數，則得到 0 次正面機率為何？二次正面的機率為何？

(a) (5%) 請問此是否為一個合理的機率密度函數？

(b) (5%) 請問 Y 的累積機率密度函數 (cumulative density function, cdf) 為何？

(c) (5%) 均數為何？

(a) (5%) 請問 X 的邊際質量函數 (marginal probability mass function) 為何？

(b) (10%) X 與 Y 是否為相互獨立之隨機變數？

四、(10%)請依照才比雪夫不等式(Chebyshev's Inequality)估計下列機率值上限。若已知 $X$ 的平均數為 25，變異數為 16。即請估計

$$P(|X - 25| \ge 12) \le ?$$

五、(10%)連續 10 天，觀察早上 9 點於 10 點間，進入臺北大學門口車輛數如下： 4, 6, 9, 6, 10, 11, 6, 3, 7, 10 假設資料服從 Poisson distribution(卜瓦松分配)分布，具有參數 $\lambda$。請設計並證明一 個 $\lambda$ 的不偏估計式，請計算其估計值，並計算其 95% 信賴區間。

六、（10%）有二個獨立隨機樣本(x, y)，分別抽樣自常態分布 \( N(\mu_x, \sigma^2) \) 與 \( N(\mu_y, \sigma^2) \)（變異數相同），樣本數各為 100，得到樣本均數與樣本變異數值為 \( \bar{x} = 4.8, \bar{y} = 5.6, S_x^2 = 8.64, S_y^2 = 7.88 \)。
請求出 \( \mu_x - \mu_y \) 的 95% 信賴區間。

七、(10%)已知全校有 100 位學生票選 5 位教學績優老師，5 位老師得票數分別為 10, 15, 30, 20,
25。請利用卡方檢定檢定於 5% 顯著水準下，是否至少有 1 位老師得票率特別高？

(a) (10%) 請計算出簡單線性回歸截距項與斜率項的估計值。

(b) (10%) 請問若有地域資訊, 可將全國地理區域區分為北部, 中部, 南部與東部,資料更新如下:

你將如何變更回歸設定，使得可以在控制師生比的影響之下，知道北部區域與其他區域的學生平均成績的差異？