15. 已知 $f(x) = 2 \tan x$, $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, 試求 $\frac{d}{dx} f^{-1}(x) \Big|_{x=2} = ?$
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{2}{5}$
(C) $\frac{1}{5}$
(D) $\frac{1}{4}$

16. 試求 \(\int_{0}^{1} \frac{x \log_e (1+x^2)}{1+x^2} dx = ?\)(A) \(\frac{(\log_e 2)^2}{4}\)(B) \(\frac{(\log_e 2)^2}{3}\)(C) \(1 + \frac{(\log_e 2)^2}{3}\)(D) \(1 + \log_e 2\)

17. 試求級數 \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^k}{k}(2x-1)^k \) 的收斂區間 : (A) \( (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) \) (B) \( [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) \) (C) \( (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}] \) (D) \( [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \)

18. 若 \( y = \sin(m\log_e x) \)，則 \( x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + m^2 y = ? \) (A) 1 (B) \( m\sin(m\log_e x) \) (C) \( m\cos(m\log_e x) \) (D) 0

19. 試求函數 \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^4+1}} \) 的最大值： (A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) (B) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (C) \(\frac{1}{2}\) (D) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

20. 若 \( f(x) = \sqrt{(x-1)(x+2)} \)，則 \( f(x) \) 的可微分區間為何？ (A) \( (-\infty, -2) \cup (1, \infty) \) (B) \( (-\infty, -2] \cup (1, \infty) \) (C) \( (-\infty, -2] \cup [1, \infty) \) (D) \( (-\infty, -2) \cup [1, \infty) \)

21. 試找出 $\sin x$ 以 $\pi/2$ 為中心展開的泰勒級數： (A) \( 1 - \frac{(x-\pi/2)^2}{2!} + \frac{(x-\pi/2)^4}{4!} - \frac{(x-\pi/2)^6}{6!} + \dots\dots \) (B) \( 1 + \frac{(x-\pi/2)^2}{2!} + \frac{(x-\pi/2)^4}{4!} + \frac{(x-\pi/2)^6}{6!} + \dots\dots \) (C) \( (x-\pi/2) + \frac{(x-\pi/2)^3}{3!} + \frac{(x-\pi/2)^5}{5!} + \frac{(x-\pi/2)^7}{7!} + \dots\dots \) (D) \( (x-\pi/2) - \frac{(x-\pi/2)^3}{3!} + \frac{(x-\pi/2)^5}{5!} - \frac{(x-\pi/2)^7}{7!} + \dots\dots \)

22. 試求 \(\int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{\tan y} e^x \sec^2 y \, dx dy = ?\)(A) \(e-2\)(B) \(e+1\)(C) \(e+2\)(D) \(e^2+1\)

23. 已知 \( y = (2x)^x \), \( x > 0 \), 試求 \( \frac{dy}{dx} \Big|_{x=1} = ? \) (A) 1 (B) 2 (C) \( 2\log_e 2 + 2 \) (D) \( 2\log_e 2 \)

24. 當曲線 \( y = 1 + x^2 \) 和直線 \( y = 2x + 4 \) 所圍成的面積繞著直線 \( y \) 軸旋轉一圈而形成體積時，則此體積值為何？ (A) \( \frac{63\pi}{4} \) (B) \( \frac{81\pi}{4} \) (C) \( \frac{41\pi}{2} \) (D) \( \frac{64\pi}{3} \)

25. 由 \( y = \frac{1}{x} \), \( y = 0 \), \( x = 1 \) 與 \( x = 2 \) 之圖形所圍成之區域繞 \( x \) 軸旋轉，所得旋轉體之體積為何？ (A) \( \pi \log_e 4 \) (B) \( \frac{\pi}{2} \) (C) \( \frac{\pi}{4} \) (D) \( \pi \log_e 2 \)

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