105年 - 105 國立嘉義大學_轉學生招生考試試題：微積分#144922

一、填充題：（每題 6 分，共 60 分）

1. 求 $\lim_{x \to 5^-} \frac{\sqrt{x^2 - 10x + 25}}{2x - 10} =$ ________。

2. 求函數 $F(x) = \int_4^{x^2} \ln(t^3 + 4) \, dt$ 在 $(2, 0)$ 的切線斜率為________。

3. 假設 $x^2 + y^2 = 25$，求 $\frac{d^2y}{dx^2} =$ ________。

4. 假設 $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x$，且 $f^{-1}(x)$ 為 $f(x)$ 的反函數，求導數 $(f^{-1})'(1) =$ ________。

5. 求 $\int \frac{1}{1 + e^x} \, dx =$ ________。

6. 求 $\int \frac{1}{\sin x \cos x} \, dx =$ ________。

7. 函數 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}\ln x$ 在 $1 \le x \le 2$ 的弧長為________。

8. 求 $\int \frac{3x + 11}{x^2 + 5x + 6} \, dx =$ ________。

9. 求 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-2)^{n+1}}{e^n} =$ ________。

10. 求 $\int_1^2 \int_1^x (2x^2y^{-2} + 2y) \, dy \, dx =$ ________。

1. 求出由 \(x=9\) 與 \(x=(y-1)^2\) 所圍成之區域繞 \(y=5\) 旋轉所形成之旋轉體之體積。

2. 求出那些 x 值使得級數 \(\sum_{k=0}^{\infty} e^k x^k\) 收斂，並說明你的理由。

3. 求 \( f(x,y) = 4xy \) 在滿足 \( x>0, y>0 \)，以及 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1\) 的條件下的最大值。

4. 求 $f(x) = \sin x$ 以 x = 0 為中心的泰勒級數。