10. 定積分 \(\int_{1}^{2} \frac{3x^3 - 4x^2 + 2x}{x} dx\) 的值為何？
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

11. 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 3x)(\cos 2x) dx$ 的值為何？ (A) $-\frac{1}{5}(3+\sqrt{2})$ (B) $-\frac{1}{5}(3-\sqrt{2})$ (C) $\frac{1}{5}(3-\sqrt{2})$ (D) $\frac{1}{5}(3+\sqrt{2})$

12. 定積分 $\int_{3}^{5} \frac{1}{x^2 - 3x + 2} dx$ 的值為何？ (A) $\ln(\frac{2}{3})$ (B) $\ln(\frac{4}{5})$ (C) $\ln(\frac{5}{4})$ (D) $\ln(\frac{3}{2})$

13. \( \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\tan(\frac{1}{3}x)}{\frac{1}{\sec(\frac{1}{3}x)}} \) 的值為何？ (A) \( \frac{1}{3} \) (B) \( \frac{1}{2} \) (C) 1 (D) 不存在

14. 下列選項中之敘述何者正確？ (A) \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 在 \(p>1\) 時均收斂 (B) \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 在 \(p\le 1\) 時均收斂 (C) \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx\) 在 \(p>1\) 時均收斂 (D) \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx\) 在 \(p\le 1\) 時均收斂

15. 求出 \( r = sin\theta \) 與射線 \( \theta = \frac{\pi}{6}, \theta = \frac{\pi}{4} \) 之間所圍成區域的面積。 (A) \( \frac{\pi}{48} - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{16} \) (B) \( \frac{\pi}{96} - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \) (C) \( \frac{\pi}{96} - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16} \) (D) \( \frac{\pi}{48} - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16} \)

16. 假設 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 為正項級數，下列選項中之敘述何者正確？(A) 令 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} a_n\)，若存在一正數 \(M\)，使得所有的 \(S_m < M\)，則 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 一定收斂(B) 若 \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1\)，則 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 一定收斂(C) 若 \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\frac{1}{n}} = 1\)，則 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 一定收斂(D) 若存在收斂的正項級數 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)，且對每一項 \(b_n\)，\(a_n\) 均具有 \(b_n \le a_n\)，則 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 一定收斂

17. 已知 \( e^x \) 的麥克勞林級數 (在 \( x=0 \) 處的泰勒級數) 為 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n \)，下列選項中何者為 \( e^{x^2} \) 的麥克勞林級數？ (A) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^{n^2} \) (B) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^{2n} \) (C) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}x^n \) (D) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}x^{2n} \)

18. 若微分方程 \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \) 滿足 \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\) 時，此微分方程稱為正合。試問 \(N(x,y)\) 為下列何選項時，微分方程 \(\left(2x + y\cos(xy) - \frac{y}{x^2}\right)dx + N(x,y)dy = 0\) 為正合微分方程？ (A) \(x\cos(xy) + \frac{y}{x}\) (B) \(x^2 + \cos(xy) + \frac{1}{x}\) (C) \(\cos(xy) + \frac{y}{x}\) (D) \(x\cos(xy) + \frac{1}{x}\)

19. 下列何選項為 $z = e^{\frac{x}{y}} + x^2 y^3$ 的全微分？ (A) $dz = (2xy^3 + \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}})dx + (3x^2y^2 - \frac{x}{y^2}e^{\frac{x}{y}})dy$ (B) $dz = (2xy^3 - \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}})dx + (3x^2y^2 + \frac{x}{y^2}e^{\frac{x}{y}})dy$ (C) $dz = (2xy^3 - \frac{x}{y^2}e^{\frac{x}{y}})dx + (3x^2y^2 + \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}})dy$ (D) $dz = (2xy^3 + \frac{x}{y}e^{\frac{x}{y}})dx + (3xy^2 + \frac{1}{y^2}e^{\frac{x}{y}})dy$

20. 假設函數 \( f(x,y) = e^{xy} \)，若 \( D \) 為由直線 \( y=x \)，\( y=3x \) 及 \( y=5x-4 \) 所圍成的區域，則 \( \iint_{D} f(x,y)dydx \) 之積分值與下列何選項之積分值相等？ (A) \( \int_{0}^{1} \int_{x}^{5x-4} f(x,y)dydx + \int_{1}^{2} \int_{x}^{3x} f(x,y)dydx \) (B) \( \int_{0}^{1} \int_{x}^{3x} f(x,y)dydx + \int_{1}^{2} \int_{x}^{5x-4} f(x,y)dydx \) (C) \( \int_{0}^{1} \int_{x}^{3x} f(x,y)dydx + \int_{1}^{2} \int_{5x-4}^{3x} f(x,y)dydx \) (D) \( \int_{0}^{1} \int_{x}^{5x-4} f(x,y)dydx + \int_{1}^{2} \int_{5x-4}^{3x} f(x,y)dydx \)

100年 - 100 二技統測_電子類_專業科目(二)：微積分、微處理機(含實習)#139943

99年 - 99 二技統測_電子類_專業科目(一)：微積分、微處理機(含實習)#144008