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115年 - 教育部受託辦理115學年度公立高級中等學校教師甄選:數學科#139603
> 申論題
試用兩種高一同學可理解方法證明:\(1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)。
相關申論題
設 a > 0 ,若 xy - 3x + y = 0 ,且 \(a^x = 10^y = 8\) ,則 \(a = \underline{\underline{125}}\)。
#573127
2. 定積分 \(\int_{-1}^{7}(-2 + \sqrt{-x^2 + 6x + 7})dx = \underline{\underline{8\pi - 16}}\)。
#573128
3. 若實數 a 可以讓複數 \(z = (3a + \cos \theta) + (a - \sin \theta)i\) 滿足:對任意實數 \(\theta, |z| \leq 3\) 均成立,則實數 a 的範圍為 \(-\frac{\sqrt{10}}{5} \leq a \leq \frac{\sqrt{10}}{5}\)。
#573129
4. 對任意實數 x,函數 f(x) 滿足 \(f(x + 2) = \frac{f(x) - 1}{f(x) + 1}\),若 f(1) = 2, f(2) = -3,則 \(f(118) = \frac{1}{-3}\)。
#573130
5. 設 a 為實數,若方程式 (|x + 5| - 1)(x + 2) = a 有三個相異實根,則 a 的範圍為 -1 < a < 3。
#573131
6. 現有15個糖果,甲、乙兩人輪流拿糖果,每次只能拿1個或2個,拿完為止。若由甲先拿,且最後一次也由甲拿完剩餘糖果,則兩人拿糖果過程的可能情形有 493 種。
#573132
7. 設 A, B, C 為平面上三點,若 \(\overline{AB}, \overline{AC} = 2, \overline{BA}, \overline{BC} = 4, \overline{CA}, \overline{CB} = 6\),則 \(\triangle ABC\) 的面積為 \(\sqrt{11}\)。
#573133
坐標平面上,設 \(A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2})\) 為拋物線 \(y = ax^{2}\) 上的相異兩點,且過 A 作此拋物線的切線為 \(L_{1}\),過 B 作此拋物線的切線為 \(L_{2}\)。若 \(L_{1}\) 和 \(L_{2}\) 交於點 \(P(x_{3},y_{3})\),試證明 \(x_{3} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\)。
#573135
設 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) 是三角形 ABC 的三個內角,證明 \(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\)。
#573136
(2) 您的輔導策略為何?(9分)
#573126
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