115年 - 115 國立屏東高級中學第1次正式教師甄選試題：數學科#140726

1. 小屏閒暇時將面額為 1 元和 2 元兩種郵票貼成一排，考慮其排列順序，設共貼 $n$ 元時有 $a_n$ 種貼法，試求出其遮迴式。

2. 在同一平面上，有一行星繞一恆星運轉，此行星的軌道為 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，另有一飛碟靠近，此飛碟軌道為 $x + y = 20$。試求飛碟行進路線與行星軌道的最短距離。

3. 兩列火車在一條軌道上對開，最初兩列火車頭相距 100 公里，而火車的速率是每小時 50 公里。假設有隻蒼蠅，飛行速率是每小時 75 公里。從一列火車頭往前飛，在到達另一列火車的火車頭之後立刻折返飛行，再碰到原先的火車頭之後又立刻折返飛行，則火車相撞的時候，這蒼蠅來來回回，總共飛了 ___ 公里。

4. 半徑為 1 兩個圓相疊如右圖，若相疊後區域周長為 $\frac{11}{3}\pi$，面積為 $a + b\pi$，其中 a, b 均為有理數，試問 a + b =_______

5. 如圖所示，A、C 為二次函數 \(y = 4x - 2x^2\) 上的兩相異點，B、D 為直線 y = x 上的兩相異點，若 ABCD 為正方形，且點 A 的坐標為 (a, b)，試問 a + b = ___。

6. 設 k 為實數，使得方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} 10x + \sqrt{6}y = kx \\ 4\sqrt{6}x + 12y = ky \\ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 \end{array} \right.\) 有實數解，則 k = ______。

7. 已知複數 z 滿足 \(z - \bar{z} = 3i\)(其中 \(\bar{z}\) 為 z 的共軛複數，\(i = \sqrt{-1}\))，試求 \(\left| \sqrt{11} + 5i - z \right|\) 的最小值為____。

8. 將屏中校歌開頭「美哉屏中美哉屏中」這 8 個字全取排成一列，其中「屏」與「中」兩字不相鄰之排法有____種。

9. 設 A(-1, -2), B(3, 1) 為坐標平面上二點。圓 C 方程式為 \(x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0\)，若 P(a, b) 為圓 C 上任一點，求 \(\widehat{AP} \cdot \widehat{AB}\) 的最小值為____。

10. 有 78 個數據依規則排列如下：$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \dots, \frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \dots, \frac{12}{12}$，則中位數為____。

1. 設 \(P(x_{1},y_{1}), Q(x_{2},y_{2})\) 均在 \(y = x - \frac{1}{3} x^{3}\) 上，已知以 P, Q 為切點之切線互相平行，且兩直線相距 \(\frac{8}{3}\)，若 \(x_{1} < x_{2}\)，則以 P 為切點之切線方程式為何。

2. 設正四面體 $P$-ABC 的高為 $\overline{PO}$，$M$ 為 $\overline{PO}$ 的中點，過 $\overline{AM}$ 作與棱 $\overline{BC}$ 平行的平面，將正四面體截成上下兩部分，令含 $P$ 點的部分為上部分且體積為 $m$，另一部分體積為 $n$，試求 $\frac{m}{n}$。

3. \(a, b, c \in N\)，若 a, b, c 為偶數的機率均為 p，ab + c 為奇數的機率是 f(p)，試證明 \(f(p) > \frac{1}{2}\) 時，p 的範圍在 \(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < p < \frac{1}{2}\)。

(1) 試求 f(1)。(1 分)

(2) 試求 f(x)。(3 分)

(3) 試證明恰有一個大於 1 的正實數 $a$ 滿足 $\int_{0}^{a} f(x) dx = 1$。(4 分)

5. 在坐標平面上，直線 $L$ 是過原點且斜角為 $\theta$ 的直線。若點 $P(x, y)$ 對直線 $L$ 鏡射得點 $P'(x', y')$，即 $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = M \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$，此時 $M$ 稱為鏡射矩陣，證明鏡射矩陣為 $\begin{bmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{bmatrix}$。