所屬科目：教甄◆數學
1、已知二次函數 f(x) 滿足以下三條件：
(I) f(-3+t) = f(1-t)，對任意實數 t；
(II) 在區間 \(-3 \le x \le 5\)，f(x) 的最大值為 24，最小值為 -84；
(III) f(-3) > f(5)。 試求 f(6) = ______ 。
2、已知三次多項式 \(f(x)\) 的奇次項係數和與偶次項係數和相等且 \(f(0)=f(1)=12\)，其函數圖形 \(y=f(x)\) 的對稱中心為\((2,k)\)，則 \(k\) 的值為 ______ 。
3、在空間座標系中，有一正立方體 ABCD-EFGH，其中底面正方形 ABCD 所在的平面方程式為 \( 2x-2y+z=0 \)，E, F, G, H 分別在 A, B, C, D 的正上方。已知頂點 A 的座標為 (0,0,0)，頂點 B 的座標為 (1,2,2)，頂點 D 與 G 的 z 座標皆為正數，且 G 的 z 座標大於 C 的 z 座標，則頂點 G 的座標為
4、三角形 $ABC$ 中，$\sin A: \sin B: \sin C = 5: 7: 8$，求 $\cos A: \cos B: \cos C = $ _______。
5、已知 $1 - \sqrt{3}i$ 為實係數方程式 $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ 的一根，且此方程式與方程式 $x^{2} + ax + 2 = 0$ 恰有一共同的實根，求序組 $(a, b, c) = $ _______。
6、設 $A$ 為二階方陣，$I_2$ 為單位方陣，若 $A^2 + 3A + 2I_2 = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 14 & 20 \end{bmatrix}$，則滿足條件的二階方陣 $A$ 為 _______。
7、設空間中 $\triangle ABC$ 的三頂點坐標分別為 $A(-2,7,15)$、$B(1,16,3)$、$C(10,7,3)$，試求 $\triangle ABC$ 的外心坐標為 _______。
8、$(\sqrt{1 + 3} + \dots + (2n - 1) - \sqrt{2 + 4} + \dots + 2n) = $ _______。
9、將 12 個完全相同的球，任意投入 3 個不同的箱子 A, B, C 中。若規定：箱子 A 必須放置奇數個球，箱子 B 必須放置偶數個球，箱子 C 的放球數量不設限(可放 0 至 12 個球)，則共有 ______ 種不同的放球方法。
110、已知數列 $$ 的前 $n$ 項和 $S_{n} = 2a_{n} + 2025$ ，求 $\frac{S_{20}}{S_{10}} =$ 。
11、已知 $\int (x) \langle x \geq 0 \rangle$ 滿足 $\frac{1}{3} + \int_{1}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t = \frac{1}{3} x f(x)$ ，求 $\int_{0}^{3} f(x) \, \mathrm{d}x =$ 。
12、空間中 $L_{1}: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{2} = z - 4$ 與 $L_{2}: \frac{x - a}{6} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 7}{-2}$ 交於一點，求 $L_{1}, L_{2}$ 之交角平分線為 。
13、已知 $z$ 為複數且 $w = 1 + \sqrt{3} i$ ，設 $A$ 為複數平面上滿足 $|z| \leq k$ ($k > 0$ )的區域。若 $A$ 恰好包含了方程式 $(z - w)^{3} = 8$ 的所有複數根，則 $k$ 的最小值為 。
14、橈圖 $\Gamma : \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$ 以原點 $O(0, 0)$ 為中心逆時針方向旋轉 $45^\circ$ 得橈圖 $\Gamma'$ 的方程式為 。
15、將半徑為 $2\sqrt{2}$ 公分的半球狀之容器裝滿了水置於桌上，今將此容器傾斜 $45^\circ$ ，如右圖，則流出的水體積是 ______ 立方公分。
16、若 $x^{2} + y^{2} + a x y - 1$ 可被 $x + b y + c$ 整除，則 $a + b + c$ 之所有可能值為 。
17、求 $y = \frac{\sin x\cos x}{\sin x + \cos x + 2}$ 的最小值。
18、已知 $z^{23} = 1, z \neq 1, z \in \mathbb{C}$ ，求 $\sum_{k=0}^{22} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}$ 之值。
二、證明題：每題10分，共10分。設伯努力試驗成功的機率為 $p$ ，失敗的機率為 $q = 1 - p$ 。今隨機變數 $X$ 的取值表示 $n$ 次獨立試驗中的成功次數。試證明：隨機變數 $X$ 的期望值 $E(X)$ $= np$2
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