115年 - 115 臺北市市立國民中學＿正式教師聯合甄選：特殊教育－資優數學科#140695

41. 一奈米是 $10^{-9}$ 公尺。一個直徑40奈米的細胞在放大20萬倍的顯微鏡下，則目鏡看到此細胞的直徑是多少公分？ (A) 0.008 (B) 0.08 (C) 0.8 (D) 1.33

42. 下列哪一個選項的值為 $\frac{1}{4}$？ (A) $\sqrt{0.05}$ (B) $\sqrt{0.0625}$ (C) $\sqrt{0.5}$ (D) $\sqrt{0.625}$

43. 化簡 $(\sqrt{2\sqrt{35} + 12})(\frac{\sqrt{14} - \sqrt{10}}{\sqrt{2}})$ 之值為何？ (A) $\sqrt{2}$ (B) $\sqrt{5}$ (C) $\sqrt{7}$ (D) 2

44. 一包幾何圖形片中有邊長相同的正三角形、正方形、正六邊形各6個。下列哪一個形體無法用這包幾何圖形片拼組起來？ (A) 三角錐 (B) 六角錐 (C) 三角柱 (D) 六角柱

45. 二次函數 $y = ax^{2} + bx + c$ 的頂點為 (4, -11)，且與 x 軸的兩個交點的橫坐標為一正一負，則 a, b, c 三數中何者為正數？ (A) 只有 a (B) 只有 b (C) 只有 c (D) 只有 a, b

46. 三角形的三邊長均為質數的三角形可能是下列何者？

(1) 銳角三角形 (2) 直角三角形 (3) 銘角三角形 (4) 等腰三角形 (5) 正三角形 (A) (1)、(2)、(3)、(4) (B) (3)、(4)、(5) (C) (1)、(3)、(4)、(5) (D) (1)、(2)、(3)、(4)、(5) 

47. 從 $3 \times 3$ 共9個格子點中找相異4點連成梯形，共可找到多少個？

(A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 28

48. 某班(含老師)共42人要搭船遊湖。已知大船可坐5人，一趟800元；小船可坐3人，一趟600元。請問可讓全部42人都搭上船的最少費用為多少元？ (A) 6600 (B) 6800 (C) 7000 (D) 7200

49. 若 $x^{2} - 3x + 1 = 0$，則 $\frac{2x^{5} - 5x^{4} + 2x^{3} - 8x^{2}}{x^{2} + 1}$ 之值為何？ (A) -1 (B) 1 (C) 2 (D) 3

50. 若 $1 \leq n \leq 200$，n為整數，且 $x^{2} - 3x - n = 0$ 可以分解成兩個一次式的乘積，請問 n 有多少個？ (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15

51. 若 k 為正整數，f(k) 表示 $\sqrt[k]{k}$ 的整數部分。例如 f(3) = 1，f(5) = 2，f(16) = 4。已知 $f(1) + f(2) + f(3) + \ldots + f(n) = 100$，求 n 之值為何？ (A) 27 (B) 29 (C) 30 (D) 31

52. 有一圓形跑道，甲走一圈需45分鐘。現在甲、乙兩人各自維持一定的速度，同時同地背向而行，甲、乙兩人相遇後，乙再走12分鐘回到原出發點，請問乙走一圈需多少分鐘？ (A) 18 (B) 24 (C) 30 (D) 36 

53. $\Delta ABC$ 與 $\Delta ADE$ 均為等腰直角三角形，若 $\overline{AB} = 3$，$\overline{CD} = 2\overline{BD}$，則四邊形 ADCE 的面積為何？

(A) 4.5 (B) 6.0 (C) 7.2 (D) 7.5 

54. 坐標平面上兩點 $P(a, b) \setminus Q(b, a)$，a 和 b 均不為 0，已知過 P 點且與 x 軸垂直的直線 L 通過第二、三象限，則過 Q 點且與 y 軸垂直的直線，必通過哪些象限？ (A) 一、二 (B) 二、三 (C) 三、四 (D) 一、四

55. 已知實數 a 和 b 皆為方程式 $x^2 + ax + b = 0$ 的解，請問有段種這樣的 (a, b)？ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

56. 如圖矩形中，相鄰兩邊中點連線與一對角線將矩形分成三部分，若矩形兩邊長為 6、8，則灰色區域的面積為何？

(A) 28 (B) 30 (C) 32 (D) 36 

57. 若 $\sqrt{x + 2} + \sqrt{y - 2} = 6$，且 x + 2y 的最大值為 A，最小值為 B，請問 A + B 之值為何？ (A) 63 (B) 64 (C) 99 (D) 100 

58. 如圖，平行四邊形被分割成 A、B、C、D 四個區域。若 C、D 兩區域的面積分別為8、6，則區域 A 的面積為何？

  (A) $8\frac{2}{3}$ (B) $12\frac{2}{3}$ (C) $12\frac{3}{4}$ (D) 條件不足無法確定

59. 如圖，$\Delta ABC$ 中 $\overline{AB} > \overline{AC}$，分別以 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 為邊長向外做正方形，下列敘述何者正確？

(A) $\overline{PC} < \overline{QB}$ (B) $\overline{PC} = \overline{QB}$ (C) $\overline{PC} > \overline{QB}$ (D) $\overline{PC}$ 與 $\overline{QB}$ 的大小關係不固定 

60. 如圖，一平行四邊形，以其一個頂點作至不相鄰兩邊的垂線段，x的長度為何？

(A) 18 (B) 20 (C) 22 (D) 24 

61. 有一個四分之一圓，各邊長度與標記如圖所示，則長度 x 為何？

(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 

62. 如圖，矩形與其內兩圓兩兩相切，若兩圓半徑分別為5、8，則矩形面積為何？

(A) 270 (B) 378 (C) 396 (D) 450

63. 如圖大正方形與小正方形，圓與大正方形相切並恰與小正方形交於頂點，則此圓半徑為何？

(A) $\frac{1}{2}$ (B) $\sqrt{2} - 1$ (C) $2 - \sqrt{2}$ (D) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

64. 令 ds(P) 與 H 分別表示正三角形內一點到三邊的距離和與此正三角形的高，下列敘述何者正確？ (A) ds(P) < H(B) ds(P) = H (C) ds(P) > H (D) ds(P) 與 H 無一定的大小關係

65. 正方形 ABCD 的四個角分別切去一個等腰直角三角形，最後剩下一長寬不相等的長方形 EFGH。若切去部分的面積和為 $200cm^2$，且切去的直角三角形的兩股都是整數，則長方形 EFGH 的面積為多少 $cm^2$？

(A) 56 (B) 58 (C) 60 (D) 64 

66. 一直角三角形的內切圓與斜邊的切點將斜邊分成 x、y 兩段，則此直角三角形的面積為何？ (A) $\frac{x^2 + y^2}{2}$ (B) $\frac{(x + y)^2}{2}$ (C) xy (D) 條件不足無法確定 

67. 在 $5 \times 5$ 方格中找三個格子點 D、E、F，使得 $\Delta DEF \sim \Delta ABC$（但不可以全等）。請問共可找到多少種大小不同的 $\Delta DEF$？

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

68. 已知三個相異質數的乘積為這三個相異質數和的11倍，則下列何者     可能     是此三個相異質數的最小公倍數？ (A) 110 (B) 286 (C) 429 (D) 431

69. 將兩張 $10 \times 50$ 的矩形紙張重疊，重疊部分形成一個平行四邊形（不可完全重疊）。本此平行四邊形的最大面積為何？

(A) 200 (B) 225 (C) 250 (D) 260

70. 請在下列方格內填入“+”或“-”，使得等式成立。請問共有多少種不同填法？

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

71. 如圖，從 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中挑出 8 個數，分別填在正方體的 8 個頂點上，使得每個面上 4 個頂點之數的和等於 18，請問     沒被選中     的數為何？

(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 9 

72. 如圖，兩張全等的紙片其邊長比為 3:4:5，今沿虛線對摺，未重疊的部分 $S_{1} + S_{2} = 39$，求原來一張紙片的面積大小為何？

(A) 54 (B) 72 (C) 108 (D) 144 

73. 已知實係數多項式函數 $f(x) = a(x - 1)^2 - 2$ 無實根。下列敘述何者     錯誤     ？ (A) a > 0 (B) |a - 2| > 2 (C) y = f(x) 的圖形與 x 軸無交點 (D) y = f(x) 的圖形與 y 軸有交點

74. 已知三個大小相同的正方形並列成長方形 ABCD，分別交 於 E、F，求 為何？

(A) 1:3 (B) 5:16 (C) 6:17 (D) 7:20

75. 設 x 為整數，求方程式 $(x^{2} - x - 1)^{x + 3} = 1$ 的所有解之和為何？ (A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1

76. 如圖，將一張A4影印紙分別沿長、短邊對摺後撇開，可以看到幾個不同大小的矩形。下列何者為圖中三條矩形對角線長由小到大的比？

(A) 1:2:3 (B) $1: \sqrt{3}: 2$ (C) $1: \sqrt{2}: \sqrt{3}$ (D) $\sqrt{2}: \sqrt{3}: 2$ 

77. 各邊長度與標示如圖所示，則塗色三角形面積為何？

(A) 10 (B) 12 (C) 16 (D) 20 

78. 各邊長度與標示如圖所示，則角度 $x$ 為何？ (A) $60^{\circ}$ (B) $65^{\circ}$ (C) $70^{\circ}$ (D) $75^{\circ}$ 

79. 請問完全覆蓋邊長為3、4、5的三角形的最小正方形面積為何？ (A) 16 (B) $\frac{256}{17}$ (C) $\frac{257}{15}$ (D) $\frac{196}{13}$

80. $\Delta ABC \Psi, AB = 3, BC = 4, AC = 2$, 且 $OP = OQ = OR$, $OP \parallel BC$, $OQ \parallel AC$, 且 $OR \parallel AB$, 求 $OP$ 的長度為何？ (A) $\frac{12}{13}$ (B) $\frac{11}{13}$ (C) $\frac{11}{12}$ (D) $\frac{5}{6}$  第14頁，共 14 頁