90年 - 90 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#145160

1. f(x) 是連續函數， g(x) 是不連續函數， m(x)=f(x)+g(x) ， n(x)=f(x) ‧g(x) ，則 (A) m(x) ， n(x) 必都不連續 (B) m(x) 必不連續， n(x) 有可能連續 (C) m(x) 有可能連續， n(x) 必不連續 (D) m(x) ， n(x) 都有可能連續

2. $\lim_{x \rightarrow 1} (1 - \frac{x-1}{x^2+2x-3}) = ?$ (A) $-\infty$ (B) $-\frac{1}{4}$ (C) 0 (D) $\frac{3}{4}$

3. $f(x) = \frac{\sqrt{9x^2+1}}{x+4}$ ，則 y = f(x) 的水平漸近線 (A) 有 0 條 (B) 僅有 1 條 (C) 有 2 條 (D) 多於 2 條

4. $f(x) = x^3 - ax + 3$ ， f'(2) = 11 ，則 a = ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 11

5. f'(1) = 1 ， $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+2h) - f(1-h)}{h} = ?$ (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) $\infty$

6. y = 3x - a 是 $y = x^2 + x - 1$ 之切線方程式，則 a = ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

7. $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \left[ \left(\frac{i}{n}\right)^4 + 1 \right] = ?$ (A) 1 (B) $\frac{5}{4}$ (C) $\frac{6}{5}$ (D) $\infty$

8. f(0) = 1 ， $g(x) = \int_x^{3x} f(t) dt$ ，則 g'(0) = ? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

9. 拋物線 $y = 4 - x^2$ 與 x 軸所圍之面積值為 a ，則 (A) a < 9 (B) $9 \leq a < 9.5$ (C) $9.5 \leq a < 10$ (D) $10 \leq a$

10. $\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = a$ ，則 (A) $0 \leq a < 2$ (B) $2 \leq a < 3$ (C) $3 \leq a$ (D) $\infty$

11. $f(x) = \ln(x^2 - 1)^{\frac{1}{3}}$ , 則 f'(3) = ? (A) $\frac{1}{4}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\ln 2$

12. f'(x) = f(x) , f(0) = 1 , 則 $\ln(f'(1))$ 是 (A) $-\infty$ (B) -1 (C) 0 (D) 1

13. 試求 $\lim_{x \rightarrow 0} 6x^2 (\cot x)(\csc 2x) = ?$ (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 6

14. 試求 $\tan^{-1} 125 + \tan^{-1} 0.008 = ?$ (A) $\frac{\pi}{2}$ (B) $125.008\pi$ (C) $3(\tan^{-1} 5 + \tan^{-1} 2 - 1)$ (D) $\frac{\pi}{4}$

15. 求 $\int \frac{2}{x\sqrt{1-4\ln^2 x}} dx = ?$ (A) $\sec^{-1}(\ln x) + C$ (B) $\sin^{-1}(2\ln x) + C$ (C) $\sin^{-1}(\ln^2 x) + C$ (D) $\sec^{-1}(\ln 2x) + C$

16. 求 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} dx = ?$ (A) $\frac{\pi}{8}$ (B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (C) $\frac{\pi}{2}$ (D) $\sqrt{2}$

17. 求 $\int_0^9 e^{\sqrt{3x+9}} dx = ?$ (A) $e^6 - e^3$ (B) $\frac{10}{3}e^6 - \frac{4}{3}e^3$ (C) $e^{\tan 9}$ (D) $\frac{4}{3}e^{\frac{\pi}{9}} - \frac{2}{3}e^{\frac{\pi}{3}}$

18. 求 $\int_1^\infty \frac{\ln x}{x^2} dx = ?$ (A) 1 (B) 0 (C) e (D) $\ln 2$

19. 求 $\int_0^3 \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} dx = ?$ (A) $3\sqrt[3]{2} - 1$ (B) $3\sqrt[3]{2} + 1$ (C) $3 + 3\sqrt[3]{2}$ (D) $3 - 3\sqrt{2}$

20. 由函數 $y=x^2$，y 軸，和 y=1 在第一象限所圍成的面積繞著 x=2 軸旋轉所形成的體積為 (A) $2\pi$ (B) $\frac{\pi}{2}$ (C) $\frac{13\pi}{6}$ (D) $\frac{12\pi}{5}$

21. 求曲線 $y = \int_0^y \sqrt{\cos 2t} \, dt$ 從 x=0 到 $x=\frac{\pi}{4}$ 之長度為 (A) 2 (B) $\frac{\pi}{4}$ (C) $\frac{\pi}{2}$ (D) 1

22. 對級數 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 而言，下列何者為真？ (A) 當 $p \ge 1$ 時級數收斂 (B) 當 $p \le 1$ 時級數收斂 (C) 當 $p \ge 1$ 時級數發散 (D) 當 $p \le 1$ 時級數發散

23. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^n}{2^n n}$ 的收斂範圍： (A) (-1, 3] (B) [-1, 3) (C) $(-\infty, \infty)$ (D) (0, 2]

24. 令 f(x, y) 為雙變數函數定義如下： 

則\( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) - \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0) = ? \)

(A) -2 (B) 0 (C) 1(D) 2

25. 求 $\int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} \int_x^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} \sin y^2 \, dy \, dx = ?$ (A) $\frac{1}{2} (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ (B) $1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \pi$ (C) $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ (D) $\frac{\pi}{4}$