97年 - 97 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#144217

1. 求\( \lim_{x \to 0} e^{|x|} = \)？ (A) 0 (B) 1 (C) e (D) 不存在

2. 求 \( \int_{0}^{1} (x^2 - \sqrt{x}) dx = \)？ (A)\(-\frac{1}{3}\) (B)\(-\frac{1}{6}\) (C)\( \frac{1}{6} \)(D) \( \frac{1}{3} \)

3. 已知合成函數\( (f \circ g)(x) = e^{-\sqrt{x^2+1}} \) ，則下列各式之 \(f(x)\) ，\(g(x)\)  ，何者     不符     ？ (A) \(f(x) = e^{\sqrt{x}}\) ，\(g(x) = -(x^2 + 1)\) (B)\(f(x) = e^{-\sqrt{x}}\) ，\(g(x) = (x^2 + 1)\)  (C)\(f(x) = \frac{x}{e}\) ，\(g(x) = e^{1-\sqrt{x^2+1}}\) (D)\(f(x) = \frac{1}{x}\) ，\(g(x) = e^{\sqrt{x^2+1}}\)

4. 設 \(f(x) = \sqrt{2x-1} - 3x\) ，則 \(f(5+h) - f(5) =\)？ (A)\( \sqrt{h} - 3h \)(B)\(\sqrt{h}+h\)(C)\( \sqrt{9+2h-3h-3} \)(D)\( \sqrt{9+h}+h-3 \)

5. 求\( \int_{0}^{4} \sqrt{2x+1} \, dx = \)？ (A) 2 (B) √20 (C)\( \frac{26}{3} \)(D)\( \frac{52}{3} \)

6. 下列哪一個函數為 [ 0 , 2 ] 內的連續函數？ (A)\(e^{-x}\) (B)\( \sqrt{x-2} \)(C)\( \frac{1}{x-1} \)(D)\( \ln(x-2) \)

7. 若曲線 \(y = -x^3 + 3x^2 - 4x + 1\) 上 P 點處，有最大切線斜率，則 P 點處切線方程式為何？ (A)\(x+y=0\)(B) \(4x + y = 1\) (C)\(4x + y = 5\) (D)\(13x + y = -4\)

8. 求曲線\(y = e^{-2x} + x + 4\)在點 ( 0 , 5 ) 的切線斜率為何？ (A) 1− (B) 0 (C) 2 (D) 4

9. 若 f (x) 為可微分函數，下列各式何者     不     是 f ′(x) 的反導函數？ (A)\( \int_{0}^{x} f'(t) dt \)(B)\( \int_{0}^{3} f'(x) dx \)(C)  f (x) (D)\(f(x) - \log 2\)

10. 求 \( \int_{0}^{1} x e^{3x^2} dx = \)？ (A)\( \frac{1}{6}e^3 - 1 \)(B)\( \frac{1}{6}e - 1 \)(C)\( \frac{1}{6}(e^3 - 1) \)(D) \( \frac{1}{6}(e-1) \)

11. 求 \( \int_{0}^{1} \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}} dx = \)？ (A) 1− e (B) 1 (C) e (D) \(\sqrt{e^2+1}-\sqrt{2}\)

12. 若生產 x 件商品的製作成本為C(x)，已知C(0)= 0  且其邊際成本函數為 \(3\sqrt{x} + 2\)，則平均 成本函數 \( \frac{C(x)}{x} \)=？ (A)\(2\sqrt{x}+1\)(B)\(2\sqrt{x}+2\)(C) \(3\sqrt{x+1}\) (D)\(3\sqrt{x} + 2\)

13. 若\( g(x) = \int_{x}^{5} (e^{-t^2} + 4t) dt \)，則 g ′(x)=？ (A)\(e^{-x^2} + 4x\)(B)\(2xe^{-x^2} + 2x^2\) (C)\( -e^{-x^2} - 4x \)(D)\( -e^{-x^2} + 4x \)

14. 求\( \frac{d}{dx} (x \ln x - 2x)^2 \)，在 x = 1 處之值為何？ (A) 2 − (B) 0 (C) 2 (D) 4

15. 求\( \int \left( 2\sin 3x - \cos \frac{x}{4} + 1 \right) dx \)=？ (A)\( -6\cos x - \frac{1}{4}\sin x + C \)(B)- \(2\cos 3x + \sin \frac{x}{4} + x + C\)(C)\(-\frac{2}{3}\cos 3x - 4\sin\frac{x}{4} + C\)(D)\(-\frac{2}{3}\cos 3x - 4\sin\frac{x}{4} + x + C\)

16. 求\(\lim_{x\to\pi} \frac{\cos 3x + 1}{(x-\pi)^2} = \)？ (A)\(-\frac{9}{2}\) (B) 1 (C)\( \frac{3}{2} \)(D)\(\frac{9}{2} \)

17. 求\( \int 97^x dx \) =？ (A)\( \frac{97^x}{98} + C \)(B)\( \frac{97^x}{\ln 97} + C \) (C)\( \frac{97^{x+1}}{x+1} + C \) (D) \(97^x \ln 97 + C\)

18. 求 2 x ln x dx ∫ =？ (A) 3 ln 39 xx x −+C (B) 33 ln 39 xx x − +C (C) ln 3 x x xC − + (D) 33 3 ln x xx C −+

19. 求 1 3 (3 1)(3 2) k kk ∞ = −+ ∑ =？ (A) 1 5 (B) 1 4 (C) 1 3 (D) 1 2

20. 求 2 3 3 2 ( 3) x dx − − ∫ =？ (A) 3 − (B) 1 2 (C) 3 2 (D) 3 【背面尚有試題】 管理類(一) 專業科目(一) 共 4 頁 第 4 頁

21. 已知原點 O 及點 A ( 1 , 1 )，欲求曲線 3 y = x 中 OA 弧線上一點 P ( a , b )，使 △OAP 面積最大，則 b a =？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

22. 同上題之圖(一)，其中 B 點坐標為 ( 1 , 0 )，試求曲線 3 y = x 與直線 y = x 在第一象限所圍 區域面積，與△OAB 面積的比值為何？ (A) 5 1 (B) 4 1 (C) 3 1 (D) 2 1

23. 下列有關無窮級數的敘述，何者正確？ (A) 不全為 0 的無窮等差級數必發散 (B) 公比小於 1 的無窮等比級數必收歛 (C) 若 lim ( ) 0 n fn →∞ = ，則 f (1) + f (2) +"+ f (n) +"必收歛 (D) 若 f (1) + f (2) +"+ f (n) +"收歛，則 f f fn (1) (2) ( ) + ++ + ""必收歛

24. 將積分區域等分為 4 段，以中點法求 1 1 10x dx ∫ − 的近似值，結果為下列哪一選項？ (A) 0 (B) 13 44 31 44 11 1 10 10 2 10 10 ⎛⎞ ⎜⎟ + ++ ⎝⎠ (C) 11 2 2 2 10 10 4 10 10 ⎛⎞ + ++ + ⎜⎟ ⎝⎠ (D) 11 4 2 4 10 10 6 10 10 ⎛⎞ + ++ + ⎜⎟ ⎝⎠

25. 關於連續函數圖形 y = f (x)的反曲點，下列敘述何者正確？ (A) 若 lim xa → + f ''(x) < 0 且 lim xa → − f ''(x) < 0，則點 (a , f (a)) 必為反曲點 (B) 若點 (a , f (a)) 為反曲點，則 f ''(a) 必為 0 (C) 若 f ''(a) = 0，則點 (a , f (a)) 必為反曲點 (D) 若 f '(a) = 0 = f ''(a)，則點 (a , f (a)) 必為反曲點