93年 - 93 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#144610

1. 已知 $f(\frac{x^2+3}{x+1}) = 2x^2 - 3x + 1$，且 $x \neq -1$，則 f(2) = ? (A) 0 (B) 3 (C) 6 (D) 10

2. 求 $\lim_{x \to -2} \frac{4-x^2}{x^2-1} = ?$ (A) -4 (B) -1 (C) 0 (D) 1

3. 若 $f(x) = \begin{cases} \frac{1-x}{\sqrt{x}-1}, & x \neq 1 \\ k, & x=1 \end{cases}$ 在 x=1連續，則 k = ? (A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 2

4. 曲線 xy - y = 1 在下列何區間內凹口向上(concave upward)？ (A) $(-\infty, 0)$ (B) (-1, 1) (C) (0, 2) (D) $(1, \infty)$

5. 若 $f(x) = \sin x$，$g(x) = \sqrt{x}$，則 $f(g(x))$ 的導函數 $\frac{d}{dx} f(g(x))$ 為何？ (A) $\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ (B) $\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ (C) $\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$ (D) $\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$

6. 若曲線 $y = x^3 - 5x^4$ 於 x = c 有反曲點(inflection point)，則 c = ? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

7. 蛋商估計每公斤雞蛋賣 22 元時可售出 1000 個雞蛋。市場調查發現，若每公斤降價 1 元，則可多賣出 100 個雞蛋。今蛋商欲獲最大營業額，則蛋價每公斤應訂為多少元？ (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17

8. 若 $f'(x) = 12x^2 - 4$，f(0) = -3，則 f(1) = ? (A) -3 (B) -2 (C) -1 (D) 0

9. 若 $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0$，則 f(x) 可為下列那一個函數？ (A) $\cos x$ (B) $e^{3x}$ (C) $x^2$ (D) $\frac{x^3}{1+x^2}$

10. 求 $\frac{d}{dx} \int_{0}^{2x} \sqrt{\cos t} \, dt = ?$ (A) $2\sqrt{\cos(2x)} - 1$ (B) $\sqrt{\cos t}$ (C) $\sqrt{\cos(2x)} - 1$ (D) $2\sqrt{\cos(2x)}$

11. 已知函數 $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$，設 $\frac{f(4) - f(0)}{4} = f'(c)$，且 0 < c < 4，則 c = ? (A) 1 (B) $\sqrt{3}$ (C) 2 (D) 3

12. 求 $\int_{\sqrt{e}}^{e} \frac{2}{x} \, dx = ?$ (A) 0 (B) 1 (C) 2e (D) 4

13. 若 k 為常數，且 $y=e^{kx}$ 滿足方程式 y''-4y'+4y=0，則 k= ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

14. 求 $\int \frac{3}{2x+1} dx = ?$ (A) $\frac{3}{x+1} + c$ (B) $\frac{3}{2} \ln|x| + 3x + c$ (C) $\frac{3}{2} \ln|2x+1| + c$ (D) $3 \ln|2x+1| + c$

15. 求 $\int_0^\pi \sin(3x) dx = ?$ (A) -2 (B)\(-\frac{2}{3}\) (C) \( \frac{2}{3} \)(D) 2

16. 設 $f(x)=1-2 \sin x$，$0 \le x \le 2\pi$，則 $f(x)$ 透增的區間為何？ (A) $(0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ (B) $(0, \pi)$ (C) $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ (D) $(\pi, 2\pi)$

17. 若 f(x) 為連續函數，且 $\int_0^1 f(x) dx = 10$，則 $\int_0^1 x f(x^2) dx = ?$ (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20

18. 求 $\int_0^\pi x \cos x dx = ?$ (A) $-\frac{1}{2} \pi^2$ (B) -2 (C) 0 (D) $\pi$

19. 求 $\int_0^\infty x e^{-2x} dx = ?$ (A) $\frac{1}{4}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) 1 (D) 2

20. 如圖(一)，陰影區域的面積 $k = \int_1^3 \frac{1}{x} dx$，則下列何者正確？
(A) $\frac{1}{3} \le k < \frac{2}{3}$ (B) $\frac{2}{3} \le k < \frac{5}{6}$ (C) $\frac{5}{6} \le k < \frac{3}{2}$ (D) $\frac{3}{2} \le k < 2$

21. 由 $y = \sec x$ , $x = -\frac{\pi}{4}$ , $x = \frac{\pi}{4}$ 與 $y = 0$ 所圍區域，繞 $x$ 軸旋轉一周，所形成的立體之體積為何？ (A) $\frac{\pi}{2}$ (B) $\pi$ (C) $2\pi$ (D) $4\pi$

22. 在區間 [a, b] 連續之任意函數 f(x)，下列何者恆真？ (A) $\left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ (B) $\int_{a}^{b} x f(x) \, dx = x \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ (C) $\int_{a}^{b} f^2(x) \, dx = \left[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right]^2$ (D) 若 $f(x) \geq 0$ , $x \in [a, b]$ , 則 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq 0$

23. 兩曲線 $y = 3 - x^2$ , y = x - 3 所圍區域的面積，可由下列何式表示？ (A) $\int_{-2}^{3} (6 - x - x^2) \, dx$ (B) $\int_{-2}^{3} (x^2 + x - 6) \, dx$ (C) $\int_{-3}^{2} (6 - x - x^2) \, dx$ (D) $\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) \, dx$

24. 下列無窮級數何者發散？ (A) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ (B) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ (C) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^2 + 1}$ (D) $\sum_{n=1}^{\infty} \sin(n\pi)$

25. 無窮等比級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n-1}}{5^n}$ 之值為何？ (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 發散