96年 - 96 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#144198

1. 若函數 $f(x)$ 在 $x \in \mathbb{R}$ 均為連續，$ \int_{a}^{b} f(x)dx = \alpha \cdot \int_{b}^{c} f(x)dx = \beta \cdot \int_{c}^{d} f(x)dx = \gamma $。求 $ \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{b}^{d} f(x)dx - \int_{a}^{d} f(x)dx = ? $ (A) $ \alpha $ (B) $ \beta $ (C) $ \gamma $ (D) $ \alpha + \beta + \gamma $

2. 求 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{3x^3 - 2x - 1} = ?$ (A) 0 (B) $\frac{1}{7}$ (C) $\frac{2}{7}$ (D) $\infty$

3. $f(x) = x^2 + bx$, $g(x) = e^{\alpha x}$, 求 $\frac{d}{dx}f(g(x)) = ?$ (A) $2\alpha e^{2\alpha x} + b\alpha e^{\alpha x}$ (B) $\alpha e^{2\alpha x} + b\alpha e^{\alpha x}$ (C) $2\alpha e^{2\alpha x} + b e^{\alpha x}$ (D) $2\alpha e^{2\alpha x} + 2b\alpha e^{\alpha x}$

4. 求 $\int_{0}^{2} 3x^2 \sqrt{2x^3+9} \, dx = ?$ (A) $\frac{95}{6}$ (B) $\frac{90}{3}$ (C) $\frac{95}{3}$ (D) $\frac{98}{3}$

5. 求 $\frac{d}{dx}\int_{1}^{x^2} e^t dt = ?$ (A) $e^{x^2}$ (B) $2xe^{x^2}$ (C) $2x + e^{x^2}$ (D) $2xe^{x^2} + e^{x^2}$

6. 求 $\int_{0}^{5} \frac{1}{(2x-5)^2} dx = ?$ (A) -0.2 (B) 0 (C) 0.2 (D) $\infty$

7. 無窮數列 $\{a_k\}_{k=1}^\infty$, 已知數列 $a_k = \frac{10^k}{2^k}$, 該數列之收斂值為何? (A) 0 (B) 1 (C) 5 (D) $\infty$

8. 若 $ f(x) = \int h(x)dx $, $ g(x) = \int h(x)dx $, 且 $ f(x)+g(x)=10 $, 則下列何者為正確? (A) $ h(x) = \sin x - \cos x $ (B) $ h(x) = 5x $ (C) $ h(x) = 0 $ (D) $ h(x) = e^{-x} $

9. 求 $\int 12(x^2-1)(x^3-3x)^3 dx = ?$ (A) $\frac{3}{2}(x^2-1)^2(x^3-3x)^4$ (B) $\frac{3}{2}(x^2-1)^2(x^3-3x)^4 + c$ (C) $(x^3-3x)^4$ (D) $(x^3-3x)^4 + c$

10. 若 $ f(x) = \frac{x}{[x]} $, 且 $ |x| \ge 1 $, ( [x] 為高斯函數 )。則 $ f(x) $ 的值域為何？ (A) $ (-\infty, \infty) $ (B) $ (0, \infty) $ (C) 1 (D) $ (\frac{1}{2}, 2) $

11. 已知 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$, $g(x) = \frac{x}{\sin x}$, 求 $\lim_{x\to 0}(f(x) - g(x)) = ?$ (A) $-\infty$ (B) 0 (C) 2 (D) $\infty$

12. 求 $\int_0^1 t^2 e^{-\alpha t} dt = ?$ (A) $-e^{-\alpha} \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{2}{\alpha^2} + \frac{2}{\alpha^3}\right) + \frac{2}{\alpha^3}$ (B) $-e^{-\alpha} \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{2}{\alpha^2} + \frac{2}{\alpha^3}\right)$ (C) $e^{-\alpha} \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{2}{\alpha^2}\right)$ (D) $e^{-\alpha} \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\alpha^3}\right)$

13. 曲線 $ y = 5^{\ln x^2} $，在 $ x=1 $ 處之斜率為何？ (A) 0 (B) $ \ln 5 $ (C) $ 2 \ln 5 $ (D) $ \infty $

14. 下列函數中，何者於 $ x=1 $ 處連續？ (A) $ f(x) = \frac{\sin x}{x-1} $ (B) $ f(x) = \frac{\tan x}{1-x} $ (C) $ f(x) = \frac{x-1}{x^2-1} $ (D) $ f(x) = \frac{x-1}{x^2+1} $

15. 某物體沿一直線運動，其速度函數為V (t) = 3sin 2t ，當t = π 時，其位置函數 S(t) = 0 。
求S(0)= ？
(A) –3 (B) –1.5 (C) 0 (D) 1.5

16. 求 $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} (x+x^3+e^x)dx = ?$ (A) $-\frac{\pi^2}{8} + e^{\pi/4} - e^{-\pi/4}$ (B) $e^{\pi/4} - e^{-\pi/4}$ (C) $\frac{\pi^2}{8} + e^{\pi/4} - e^{-\pi/4}$ (D) $\frac{3\pi^2}{8} + e^{\pi/4} - e^{-\pi/4}$

17. 下列函數中，何者具有絕對極值？ (A) $f(x) = \ln x, x \in (0, \infty)$ (B) $f(x) = e^x, x \in \mathbb{R}$ (C) $f(x) = \sin x, x \in \mathbb{R}$ (D) $f(x) = x, x \in \mathbb{R}$

18. 求 $\int_{2}^{4} \frac{3x-7}{x^2-6x+5} dx = ?$ (A) $-\ln 3$ (B) 0 (C) $\ln 3$ (D) $2+\ln 3$

19. A 與 B 二候選人同時於 $ t = 0 $ 時開始籌募資金，若 A 的籌募資金速率函數為 $ f(t) = 5t $，B 的籌募資金速率函數為 $ g(t) = \frac{1}{3}t^3 $，則 A 與 B 二候選人開始籌募資金後 ($ t > 0 $)，籌款總額首次相等之時間為何？
(A) $\sqrt{29}$
(B) $\sqrt{30}$
(C) $\sqrt{31}$
(D) $\sqrt{32}$

20. 假設陳先生於時間 $ t=0 $ 時投資於 A 公司的股票金額為 $ M $，若他在 A 公司的股票價值 $ y $ 與時間 $ t $ 的關係可以為 $ y = (1+\alpha)^t M $ 表示，其中 $ \alpha $ 為固定的參數。在 $ t=2 $ 時，陳先生的股票增值率為若干？ (A) $ M(1+\alpha)^2 \ln(1+\alpha) $ (B) $ M(1+\alpha) \ln(1+\alpha) $ (C) $ M(1+\alpha) $ (D) $ M(1+\alpha)^2 $

21. 由直線 $ y = x + 2 $, x 軸及曲線 $ y = x^2 (x \ge 0) $ 所包圍之封閉區域面積為何？
(A) $\frac{15}{8}$
(B) $\frac{17}{8}$
(C) $\frac{17}{4}$
(D) $\frac{16}{3}$

22. 若函數 $ f(x) = x^2 $, $ x \in [0,3] $, 求滿足微積分均值定理的 $ c $ 值為何？ (A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (B) $\frac{3}{2}$ (C) $\sqrt{3}$ (D) 3

23. 下列函數圖形，何者兼具上凹 (convex) 及下凹 (concave) 段? (A) $f(x) = \ln x, x \in (0, \infty)$ (B) $f(x) = e^x, x \in \mathbb{R}$ (C) $f(x) = x^2, x \in \mathbb{R}$ (D) $f(x) = x^3, x \in \mathbb{R}$

24. 下列之交錯級數，何者為發散級數？ (A) $\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^i \frac{1}{i}$ (B) $\sum_{i=2}^{\infty} (-1)^i \frac{1}{i-1}$ (C) $\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^i \frac{i}{10}$ (D) $\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^i \frac{10}{i}$

25. 求級數 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{3^n} = ?$
(A) $\frac{5}{12}$
(B) $\frac{5}{11}$
(C) $\frac{7}{12}$
(D) $\frac{7}{11}$

96年 - 96 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#144198

試卷資訊

選擇題 (25)

申論題 (0)

相關試卷