91年 - 91 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#144845

1. $f(x) = \begin{cases} 3 & , \\ 5 & , \end{cases} \begin{matrix} x \neq 1 \\ x = 1 \end{matrix}$, $g(x) = x$, 則: (A) $\lim_{x \to 1} f(g(x)) = 5$ 且 $\lim_{x \to 1} g(f(x)) = 3$ (B) $\lim_{x \to 1} f(g(x)) = 3$ 且 $\lim_{x \to 1} g(f(x)) = 5$ (C) $\lim_{x \to 1} f(g(x)) = \lim_{x \to 1} g(f(x)) = 3$ (D) $\lim_{x \to 1} f(g(x)) = \lim_{x \to 1} g(f(x)) = 5$

2. 求 $\lim_{t \to 1} \frac{1 - \sqrt{t}}{1 - \sqrt[3]{t}} = ?$ (A) 0 (B) $\frac{3}{2}$ (C) 3 (D) $\infty$

3. 設 f 與 g 均為可微分的函數，且 f(2) = 2，g(2) = 3，f'(2) = 1，g'(2) = 4，f'(3) = 3，g'(3) = 3，則 $(f \circ g)'(2) = ?$(A) 4 (B) 8 (C) 9 (D) 12

4. 設某一商品售價為 50 元時，其每月銷售量為 8000 件。現廠商擬提高售價以便增加收入，但依市場調查顯示，該商品每增加售價 1 元，銷售量會減少 100 件。試問售價為多少時，會有最多的收入？ (A) 58 元 (B) 65 元 (C) 69 元 (D) 無法判定

5. 曲線 $(y - x)^2 = x$ 上在點 (9,12) 的切線斜率為何？ (A) $\frac{7}{6}$ (B) $-\frac{7}{6}$ (C) $\frac{5}{6}$ (D) $-\frac{5}{6}$

6. 請問下列那一式子可以表示定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$ ？ (A) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(1 + \frac{i}{n})^2}$ (B) $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + (\frac{i}{n})^2}$ (C) $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(\frac{i}{n})^2}$ (D) $\sum_{i=1}^{n} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(\frac{i}{n})^2}$

7. 求 $\int_{0}^{2} |2x - 1| dx = ?$ (A) $\frac{3}{2}$ (B) 2 (C) $\frac{5}{2}$ (D) 3

8. 設 $f(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{dt}{1 + t^3}$，則 f'(2) = ? (A) $\frac{1}{65}$ (B) $\frac{4}{65}$ (C) $\ln 65$ (D) $\tan^{-1} 65$

9. 求 $\int_0^2 x e^{x^2} dx = ?$ (A) $\frac{e^4 - 1}{2}$ (B) $e^4 + 1$ (C) $2e^4$ (D) 無法積分

10. 求 $\ln xy = x - y$ 之 $\frac{dy}{dx} = ?$ (A) $\frac{y(x+1)}{x(1-y)}$ (B) $\frac{y(x-1)}{x(1-y)}$ (C) $\frac{y(x+1)}{x(1+y)}$ (D) $\frac{y(x-1)}{x(1+y)}$

11. 求 $\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = ?$ (A) $\ln \sqrt{2}$ (B) $\ln 2 + \frac{1}{2}$ (C) $\frac{\pi}{4}$ (D) $\frac{\pi}{4} + \ln \frac{\pi}{2}$

12. 設 $y = \frac{1}{\sin x + \cos x}$，則 $\frac{dy}{dx} = ?$ (A) $\sec x \tan x - \csc x \cot x$ (B) $\frac{1}{\cos x - \sin x}$ (C) $\frac{\sin x - \cos x}{1 + 2 \sin x \cos x}$ (D) $\frac{\cos x - \sin x}{\sin x \cos x}$

13. 找出 $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$，由 $f(x) = \cos x$ 及 $x$ 軸所圍成的區域面積： (A) $\frac{3\pi}{2}$ (B) $\pi$ (C) 4 (D) 2

14. 求 $\int_1^e x^2 \ln x \, dx = ?$ (A) 1 - e (B) $\frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9}$ (C) $\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{3}e + \frac{1}{12}$ (D) $\frac{1}{3}e^3$

15. 求 $\int_1^e \frac{(1 + \ln x)^2}{x} dx = ?$ (A) $\frac{(1 + \ln e)^3}{3e}$ (B) $\frac{1}{3e^2}$ (C) $\frac{7}{3}$ (D) $\frac{1 + e}{3}$

16. 求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x \, dx = ?$ (A) $\frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}} + 1\right)$ (B) $e^{\frac{\pi}{2}}$ (C) $\frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}} - 1\right)$ (D) $e^{\frac{\pi}{2}} + 1$

17. 求 $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 + x^2}{e^x + e^{-x} - 2} = ?$ (A) 0 (B) 1 (C) 6 (D) $\infty$

18. 求 $\int_1^\infty \frac{x}{(4 + x^2)^{3/2}} \, dx = ?$ (A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{5}{\sqrt{5}}$ (C) $\frac{1}{5\sqrt{5}}$ (D) $\frac{1}{\sqrt{5}}$

19. 求曲線 $y = x^3$ 與 直線 y = x 所圍區域之面積： (A) 0 (B) $\frac{1}{2}$ (C) 1 (D) 2

20. 求由曲線 $y = x^2 + 1$ 及直線 x = 2, x = 0, y = 0 所圍區域，繞 x 軸旋轉所得旋轉體之體積： (A) $\frac{14}{3}\pi$ (B) $\frac{289}{15}\pi$ (C) $\frac{49}{9}\pi$ (D) $\frac{206}{15}\pi$

21. 求 $\lim_{x \to 0} x^n \ln x = ?$ ($n > 0$) (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) $-\infty$

22. 下列各級數，何者收斂？ (A) $\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ (B) $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n!+n}$ (C) $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{e^n}$ (D) $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^n}$

23. 設 $a_n = \frac{n^2}{2^n}$，則下列敘述中那些是正確的？
(甲) $\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2}$ (乙) $\{a_n\}$ 為收斂數列 (丙) $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 為收斂級數 (A) 僅 (甲)、(乙) 是正確的 (B) 僅 (甲)、(丙) 是正確的 (C) 僅 (乙)、(丙) 是正確的 (D) 僅 (乙) 是正確的

24. 設曲面 $z = \frac{x^2 + y^2}{4}$ 與平面 y = 4 的相交曲線為 C，則 z 值在點 (2, 4, 5)處，沿曲線 C 的瞬間變化率可為： (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) $\frac{5}{2}$

25. 求 $\int_0^1 \int_0^y y^4 e^{xy^2} \, dx dy = ?$ (A) $\frac{1}{2}(e + 2)$ (B) $\frac{1}{2}(e - 2)$ (C) $\frac{1}{3}(e + 2)$ (D) $\frac{1}{3}(e - 2)$