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教甄◆數學
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115年 - 115 國立屏東女中第一次教師甄試試題：數學科#140899
> 申論題
1
10、已知數列 $$ 的前 $n$ 項和 $S_{n} = 2a_{n} + 2025$ ，求 $\frac{S_{20}}{S_{10}} =$ 。
相關申論題
11、已知 $\int (x) \langle x \geq 0 \rangle$ 滿足 $\frac{1}{3} + \int_{1}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t = \frac{1}{3} x f(x)$ ，求 $\int_{0}^{3} f(x) \, \mathrm{d}x =$ 。
#577426
12、空間中 $L_{1}: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{2} = z - 4$ 與 $L_{2}: \frac{x - a}{6} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 7}{-2}$ 交於一點，求 $L_{1}, L_{2}$ 之交角平分線為 。
#577427
13、已知 $z$ 為複數且 $w = 1 + \sqrt{3} i$ ，設 $A$ 為複數平面上滿足 $|z| \leq k$ ($k > 0$ )的區域。若 $A$ 恰好包含了方程式 $(z - w)^{3} = 8$ 的所有複數根，則 $k$ 的最小值為 。
#577428
14、橈圖 $\Gamma : \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$ 以原點 $O(0, 0)$ 為中心逆時針方向旋轉 $45^\circ$ 得橈圖 $\Gamma'$ 的方程式為 。
#577429
15、將半徑為 $2\sqrt{2}$ 公分的半球狀之容器裝滿了水置於桌上，今將此容器傾斜 $45^\circ$ ，如右圖，則流出的水體積是 ______ 立方公分。
#577430
16、若 $x^{2} + y^{2} + a x y - 1$ 可被 $x + b y + c$ 整除，則 $a + b + c$ 之所有可能值為 。
#577431
17、求 $y = \frac{\sin x\cos x}{\sin x + \cos x + 2}$ 的最小值。
#577432
18、已知 $z^{23} = 1, z \neq 1, z \in \mathbb{C}$ ，求 $\sum_{k=0}^{22} \frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}$ 之值。
#577433
二、證明題：每題10分，共10分。設伯努力試驗成功的機率為 $p$ ，失敗的機率為 $q = 1 - p$ 。今隨機變數 $X$ 的取值表示 $n$ 次獨立試驗中的成功次數。試證明：隨機變數 $X$ 的期望值 $E(X)$ $= np$2
#577434
一、A = (1982)10, B = (3456)8, C = (6C7D)16, D = (10101101)2。計算 A, B, C, D 四數之和，並用八進位的方式表示答案。請詳列計算過程。 (15 分)
#577435
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