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115年 - 115 -1 國立南科國際實驗高級中學_教師甄選試題:高中數學科#140146
> 申論題
3. 方程式 \(\sin x - 3\cos x = k\) 在 \(0 \leq x \leq \pi\) 的範圍內有兩個相異的實數解,則實數 k 的最大範圍為____。
相關申論題
4. 正項等比數列 \(\{a_n\}\) 滿足 \(a_2 = 2, a_6 = \frac{1}{8}\),求 \(a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_{99}a_{100}\) 的和 = _____。
#575808
5. 若一封信不知寄自 TENNESSEE 或 MISSISSIPPI,但郵戳上恰有兩連續字母可認清,則在已知此兩字母是 SS 的條件下,此信寄自 MISSISSIPPI 的機率為____。
#575809
6. 已知橫圓:\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)(a > b > 0)。直線 L 為過橫圓上一點的切線,若橫圓的焦點 \(F_1, F_2\) 到 L 的垂足分別為 M, N,求 \(|F_1M| \cdot |F_2N|\) 的值(以 a, b 表示)____。
#575810
7. 如圖,一長方體 ABCD - EFGH,若直線 \(\overline{BC}\):\(\frac{x + 6}{1} = \frac{y - 5}{-1} = \frac{z + 4}{-2}\), 直線 \(\overline{FH}\):\(\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z - 1}{1}\),點 H(2, -3.1),則長方體 ABCD - EFGH 的體積為____。
#575811
8. 有十個數 a, b, c, d, e, f, 8, 11, 12, 17。若此十個數的平均數與 a, b, c, d, e, f 六個數的平均數相等,且兩組數的變異數也相等(變異數採用平均平方差定義),求此變異數為____。
#575812
9. \(\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n}{n^2} + \frac{n}{(n + 2)^2} + \frac{n}{(n + 4)^2} + \frac{n}{(n + 6)^2} + \dots + \frac{n}{(3n - 2)^2} \right] =\) ______。
#575813
10. 設 n 為正整數,且 \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{119}{2160}\),求 n = ______。
#575814
11. 設 t 為實數,直線 \(L_t\):\((3\cos t)x + (5\sin t)y = 15\)。若 f(t) 表示原點 (0,0) 到直線 \(L_t\) 的距離,求 f(t) 的最小值為____。
#575815
12. 已知 n 與 \(\sqrt{113 \times 115 \times 117 \times 119 \times 121 + n}\) 皆為正整數,則 n 的最小值為____。
#575816
13. 有一個依順時針方向依序標示1,2,...,12數字的圓形時鐘(如圖)。一開始在此時鐘「12」點鐘位置擺設一枚棋子,然後每次投擲一枚均勻銅板,依投擲結果,照以下規則移動這枚棋子的位置: (I)若出現正面,將棋子從當時位置依順時針方向移動5個鐘點。 (II)若出現反面,將棋子從當時位置依逆時針方向移動5個鐘點。 例如:若投擲銅板三次均為正面,則棋子第一次移動到「5」點鐘位置、第二次移動到「10」點鐘位置,第三次移動到「3」點鐘位置。 對任一正整數 n,令隨機變數 \(X_n\) 代表依上述規則經過 n 次移動後棋子所在的點鐘位置,則 \((X_{10} - 7)\) 的期望值為______。
#575817
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