115年 - 115 臺北市立內湖高級工業職業學校_正式教師甄試：數學科#139221

1. 方程式= x² + x − 89的所有實根為__________。

2. 多項式x¹²³⁴除以x² − x + 1的餘式為__________。

3. 設θ為銳角，則an³θ + 8cot²θ 的最小值為__________。

4. 平行四邊形ABC?中， = √37，若兩對角線的其中一個交角為60°，則ABCD的面積為__________。

5. 小明班上有n位同學，座號分別為1,2,3, … , n。講桌上的籤筒中原有全班同學的座號籤各一支，頑皮的小明偷偷把自己的籤拿掉。已知剩下n − 1支籤的編號平均數為，若小明的座號為x，則數對(n, x)為__________。

6. 將正整數n表示成一個以上的正整數之和，稱為「分拆」；接著計算分拆後各正整數的乘積，稱為「分拆乘積」。舉例來說，(1 + 1 + 3)、(1 + 4)、(1 + 2 + 2)分別是n = 5的其中三種分拆方式，它們的分拆乘積分別為3、4、4。求n = 2026的所有分拆方式中，其分拆乘積的最大值為__________。

7. 設實數 a, b, c, d 滿足 a² + b² = 2，且 (c + 2)² + (d + 1)² = 3，則 (ad − bc)² 的最大值為__________。

8. 箱中有n顆球，編號1到n，每球被抽到的機率均等。假設從中同時抽出兩球，兩球編號差的期望值為E₁；而從中抽出一球後放回，再抽一球，兩次抽球編號差的期望值為E₂，則(E₁ − E₂)之值為__________。

9. 平行四邊形ABCD中，已知AB = 6，且△ABC的外接圓半徑為4，則對角線的長度之最大值為__________。

10. 設拋物線y = x²的焦點為F，在拋物線上取一點P₁，過P₁作鉛直線交x軸於點X₁，連交拋物線於點P₂，過P₂作鉛直線交x軸於點X₂，連交拋物線於點P₃，依此類推可得到一系列的點P₁, P₂, P₃, … , P_n與X₁, X₂, X₃, … , X_n。求 之值為__________。

二、計算證明題

1. 考慮以下問題：「從5男4女之中任選5人，求至少含有2男1女的方法數。」某位學生的做法是「先任選2男，再任選1女，再從剩下6人中任選2人，因此所求為。」但他發現答案是錯的，請指出錯誤之處，並示範兩種不同方法求出正確答案。

 (1) 已知，證明a² = b² + c² − 2bccosA。

(2) 已知a² = b² + c² − 2bccosA，證明。

3. 在1到2026的正整數中選出n個數，使得這n個數當中，任意兩數的積或和都無法被它們的差整除，求n的最大值。

4. 設a, b, c為實數，且函數f(x) = x³ + ax² + bx + c在−1 ≤ x ≤ 1的範圍內之最大值為M、最小值為m，求M − m的最小值。

 (1) 求數列F₁₀₀之中，緊鄰在後的下一項。

(2) 證明或否證：對於所有正整數n，|F_n|恆為質數。