115年 - 115 臺北市立華江高級中學 _正式教師甄選﹕數學科#140596

1. 已知實數 x、y、z 滿足：$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14 + 6\sqrt{3}$，且 $x + y + z = 2 + \sqrt{3}$， 試求 (x + y)(y + z)(z + x) + xyz 之值為____。

2. 設 $f(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 - 5x + 1$，$g(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 1$，且 $\alpha, \beta, \gamma$ 為 $g(x) = 0$ 之 3 根。試求：$\frac{1}{f(\alpha)} + \frac{1}{f(\beta)} + \frac{1}{f(\gamma)}$ 之值為____。

3. xy 平面上滿足不等式： $$ \left| x ^ {2} + y ^ {2} - 2 x + 4 y - 18 \right| \leq 2 x - 2 y + 18 $$ 之所有點所成的集合為 S，則 S 的面積為____。

4. 設 a > 1，b > 1，且滿足 ，則a b+ 之值為________

5. 如下圖，在 $\triangle ABC$ 之三邊 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{AC}$ 上分別取點 D、E、F，使得 $\overline{AF} = \overline{FD} = 12$，$\overline{CF} = \overline{FE} = 15$。設 $\triangle BDE$ 之外接圓圓心為 O，已知 $\overline{OF} = 18$，則 $\triangle BDE$ 之外接圓面積為____。 

6. 設複數 z 滿足 |4z - 2| = 1，在複數平面上，以 (1 + i)z，(4 + 4i)z，(-3 + 5i)z 為三頂點所形成的三角形， 其面積的最大值為______。

7. 將相同的紅球 4 個，藍球 4 個，白球 2 個全部放入模盤的 12 個格子中（如下圖），每格最多放一個球，已知灰色格子內沒有球的條件下，第一列沒有紅球且第二列沒有藍球且第三列沒有白球的條件機率為______。

8. 設隨機變數 X 表示連續投擲公正銅板直到出現連續二次反面就停止的次數，若 X 之期望值為 a、變異數為 b，則數對 (a, b) 之值為______。

9. 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2^n} = \_\_\_$。

10. 求定積分 $\int_{-3}^{3} |\sqrt{9 - x^2} - (x + 3)| dx$ 的值為______。 

1. 百貨公司舉辦父親節抽牌送獎品活動，規則如下：主辦單位準備編號 1、2、…、8 的卡牌共十張，其中編號 8 和編號 6 各有兩張相同的卡牌，其他編號的卡牌均只有一張。從這十張卡牌隨機抽出四張，且抽出後不放回，依抽出順序由左至右排列成一個四位數。若排成的四位數滿足下列任一個條件，就可獲得獎品：

(1) 此四位數大於 6400 

(2) 此四位數含有兩個數字 8 

(3) 此四位數含有兩個數字 6

例如：若抽出四張卡牌編號依序為 5、8、2、8，則此四位數為 5828，可獲得獎品。 依上述規則，共有幾個不同的四位數可獲得獎品？

2. $\triangle ABC$ 中，，過 $\triangle ABC$ 的重心 $G$ 作垂線交 於 H，若 $\overrightarrow{AH} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}$， 試求數對 (α  ,β )

3. 設 為拋物線 $x^{2} = 8y$ 的一弦，0 為原點。若 ，試求 $\Delta OAB$ 面積的最小值為多少？

4. 設橢圓 $\Gamma: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$，其中心為原點。點 P 為橢圓上的一動點。若以原點 0 為旋轉中心，將 OP 逆時針旋轉 $60^\circ$ 得到 0Q，當 P 點沿著橢圓繞行一周時，試求 Q 點的軌跡方程式。

 (1) f(x)。 

(2) 求出此正六角錐體積的最大值為何？