115年 - 115 中區縣市政府教師甄選策略聯盟_國中：數學科#140432

1. 已知x,y,z皆為實數,滿足x+y+z=3,且x-y=1。試問x²+y²+z²的最小值為何? (A) 3 (B)(C) 4 (D)

2. 已知有二個實根,求這二個實根的和為 (A) -6 (B) 4 (C) 2 (D) -2

3. 某校數學科辦公室有一條規定:「如果今天下午有召開教學研討會,則所有數學老師都不能請假。」若已知此敘述為真,則下列哪一個敘述必為真? (A)若今天下午所有數學老師都沒請假,則今天下午一定有召開教學研討會 (B)若今天下午沒有召開教學研討會,則數學老師們可以請假 (C)若今天下午有一位數學老師請假了,則今天下午一定沒有召開教學研討會 (D)只有在召開教學研討會時,數學老師才不能請假

4. 甲、乙、丙三人中有一人打破教室窗戶，老師詢問三人是誰打破，三人分別做以下回答:甲說「是乙打破的」，乙說「是丙打破的」，丙說「乙在說謊」。若已知三人中恰有一人說實話，則打破教室窗戶的人是哪位? (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)無法判斷

5. 滿足絕對值不等式|x+5|+|x-3|≤12的整數x共有幾個? (A) 9 (B) 11 (C) 13 (D) 15

6. 設 f(x) 為一個實係數多項式,且f(x)除以x-1的餘式為3,除以x-2的餘式為5,求f(x)除以(x-1)(x-2)的餘式。 (A) 2x+1 (B) 2x-1 (C) x+2 (D) 3x-1

7. 設x,y為正實數, 2x+3y=12,求x²y³的最大值。 (A) 72 (B) 32 (C)(D)

8. 求方程式log₂(4-x²) - log₂x=3的實數解個數。 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

9. 求(1+x²)²(1+x)¹⁰的展開式中,x⁴項係數。 (A) 255 (B) 300 (C) 301 (D) 302

10. 將5本不同的書全部分給甲、乙、丙三人,每人至少得一本,共有幾種分法? (A) 243 (B) 540 (C) 125 (D) 150

11. 若 f(x)=sint ds,則f'(1)= (A) 0 (B) sin1 (C) 2sin1 (D) -sin1

12. 設a∈R,若空間中兩直線L₁: 與 L₂: 交於一點,求a的值。 (A) -1 (B) 1 (C) -2 (D) 2

13. 袋中有4白球、3黑球,從中取球,每次取一球,取後不放回,直到黑球取完為止。求黑球比白球先取完的機率。 (A) 1 (B)1/2(C)3/7 (D)4/7

14. △ABC滿足sinA:sinB=3:5，其外接圓半徑與內切圓半徑的比值為14/3，且其周長為30，求此三角形面積。 (A)(B)(C)(D) 24

15. 設x∈R,求sin²x - 4sinx + 5 的最小值。 (A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 10

16. 橢圓 $3x^2+2y^2+xy=8$, 在(0,2)的切線斜率為 (A) $-\frac{1}{4}$ (B) 4 (C) -4 (D) -2

17. (G,*,e)若是代數中的一個群，*是其中的二元運算，e 是運算的單位元 (identity)，下列何者不一定對？ (A) 任意 $a \in G$，一定存在 $b \in G$ 使得 a*b=b*a=e (B) 若 $a,b \in G$，則 a*b=b*a (C) 若 $a,b,c \in G$，則 (a*b)*c = a*(b*c) (D) 若 a,b ∈ G 且 a*b=e，則 b*a=e

18. 考慮複數平面，若 i 是虛數， $\sum_{k=0}^{\infty}(1+i)^{2k}z^{k}$ 收斂半徑是 (A)(B) (C) 2 (D)

19. 下列何者是微分方程式 $y'=2xy^2, y(1)=1$ 的解？ (A) $\frac{1}{2-x^2}$ (B) $-x^2+2$ (C) $x^2-2$ (D) $\frac{1}{x}$

20. 複數z₁,z₂ 滿足|z₁|=2, |z₂|=3,Arg(z₁)-Arg(z₂)=120°, 求|z₁+z₂|。 (A) $\sqrt{19}$ (B) $\sqrt{13}$ (C) $\sqrt{7}$ (D)5

21. 設數列 $\{an\}$ 滿足 a₁=1, 當 n≥1, a_n+1 =, 求最小 n 使得 |a_n-6|<10^-3。 (A) 13 (B) 14 (C) 15(D) 16

22. 求的值。 (A)0 (B)(C)(D)

23. 設 $a,b \in \mathbb{R}$, 方程式 $x^3+x^2+ax+b=0$ 其三根在複數平面上形成一個三角形的三頂點, 此三角形面積為 24, 已知此方程式的其中一根為 5, 求 a+b。 (A) -98 (B) 98 (C) 102 (D) -102

24. 已知五位數 32a18 可被 9 整除, 求 a 的值。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

25. 求除以 5 的餘數。 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

26. 設 $n \in \mathbb{N}$, n 除以 5 的餘數為 2, 除以 7 的餘數為 3, 求 n 除以 35 的餘數。 (A) 5 (B) 10 (C) 17 (D) 31

27. 設 $n \in \mathbb{Z}$, 且 $\frac{3n+2}{2n-1} \in \mathbb{Z}$, 求所有可能的 n 的總和。 (A) -4 (B) -2 (C) 4 (D) 2

28. 求小於等於 2026 且與 2026 互質的正整數個數。 (A) 1011 (B) 1012 (C) 1013 (D) 2025

29. 設 $a,b \in \mathbb{N}$, 且存在正整數 q₁,q₂,q₃,r₁,r₂, 使得 a=bq₁+r₁, b=r₁q₂+r₂, r₁=r₂q₃, 下列何者為 a,b的最大公因數？ (A) r₁ (B) r₂ (C) 0 (D) 9₃

30. 關於 $100!=1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 100$, 下列何者正確？ (A) $100!$ 的末尾連續出現 20 個 0 (B) 若 100! 能被 3^k 整除，則整數 k 的最大值為 33 (C) 100!+1 的質因數必大於100 (D) 100! 為完全平方數

31. 已知矩陣 A=, 求A⁴-5A³+3A²+7A。 (A) (B)(C)(D)

32. 設n為正整數,V為所有 n✕n 實矩陣所構成的向量空間, W={A∈V | A^T=A} 為V的子空間,求W的維度。 (A)n² (B)(C)(D) n

33. 設A為一個3×2階的矩陣,B為一個2×3階的矩陣,且AB=,下列何者為真? (A) tr( BA )=2 (B) det( AB )=1 (C)A是可逆矩陣 (D) BA為零矩陣

34. 求的值。 (A) 1(B) (C)(D) 0

35. 已知平面一曲線的參數方程式 x=e^t,y=t², 求此曲線在t=2時的二階導數。 (A) 2e^-2 (B) -2e^-2 (C) -2e^-4 (D) 0

36. 設A表曲線 y=、x軸以及x=4所圍成的封閉區域,求A繞x軸旋轉一周所形成的旋轉體體積。 (A) 2π (B) 4π (C) 6π (D) 8π

37. 求極限。 (A) 10 (B) 20 (C) 40 (D) 80

38. 設f(x)=,求f¹(0) 。 (A) e (B) e² (C) 0 (D) 1

39. 已知矩陣A=，若A10=，求a₁₂為何? (A) 5120 (B) 1 (C) 10 (D) 1024

40. 設k,r∈R,下列對於x,y,z的三元一次方程組,何者正確? (A)當k=4且r=3時,方程組無解 (B)當k=4且r=5時,方程組恰有一解 (C)當k=4且r=3時,方程式所代表的空間中三平面交於一直線 (D)當k=4且r=5時,方程式所代表的空間中三平面中,兩個平行,另一個與這兩個分別交於一直線